*** Équation différentielle y' = ay + f (1)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par  \(f(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{\text{e}^{2x}}\) .

1. a. Montrer que la fonction dérivée \(f'\) est telle que \(f'(x) = \dfrac{3\text{e}^{2x} - 2}{\text{e}^{2x}}\) pour tout réel \(x\) .
    b. Résoudre  sur  \(\mathbb R\) l'équation \(f'(x) = 0\) . Justifier l'existence d'un minimum de  \(f\) sur \(\mathbb R\)  et en donner la valeur exacte.
    c. Dresser le tableau de variations de \(f\) (les limites en \(- \infty\) et \(+ \infty\)  sont demandées sans justification).

2. On considère l'équation différentielle \((E)\) : \(y' + 2y = 6x + 1\) où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) et \(y'\) sa dérivée.
    a. Résoudre sur  \(\mathbb R\) l'équation différentielle \(y' + 2y = 0\) .
    b. Démontrer que la fonction \(g\) définie sur  \(\mathbb R\) par \(g(x) = 3x - 1\) est solution sur  \(\mathbb R\) de l'équation \((E)\) .
    c. Vérifier que la fonction \(f\) est solution sur  \(\mathbb R\) de \((E)\) et que \(f(0) = 0\) .